Родился 23 ноября 1911 года в слободе Борисовка, ныне рабочий поселок Борисовка Борисовского района, в семье рабочего. Русский. После окончания 6 классов средней школы и школы ФЗУ работал слесарем на одном из заводов Харькова. В 1933 году был призван на службу в Красную Армию, где стал танкистом. В 1939 году окончил курсы младших лейтенантов.

С первых дней Великой Отечественной войны Мартынов А. М. на фронте. В боях с 23 сентября по 26 ноября 1941 года, участвуя в семи атаках на одном из участков Ленинградского фронта, он уничтожил 9 танков, автомашину, противотанковое орудие, 5 минометов, 4 пулемета, 7 повозок с боеприпасами и военным имуществом, до 200 солдат и офицеров противника.

Подвиг, отмеченный званием Героя Советского Союза, он совершил будучи командиром роты 16-го танкового полка 16-й танковой бригады, входившей в состав 54-й армии. Вступив 8 ноября 1941 года в бой с группой вражеских танков у деревни Жупкино Волховского района, лейтенант Мартынов А. М. проявил храбрость и военную тактическую хитрость, благодаря чему он сумел 5 вражеских танков подбить, а 3 танка захватить в полной исправности и вывести их в расположение своей части. В ходе боя он уничтожил также до 50 солдат и офицеров противника.

26 марта 1942 года Мартынов А. М. погиб смертью храбрых.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 февраля 1943 года командиру танковой роты лейтенанту Мартынову Александру Максимовичу присвоено звание Героя Советского Союза посмертно.

Похоронен Мартынов А. М. в братской могиле в поселке Новая Малукса Ленинградской области.